□投稿者/ rest -(2025/02/15(Sat) 09:14:52)
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□投稿者/ rest -(2022/07/10(Sun) 00:28:39) 2022/07/10(Sun) 08:52:49 編集(投稿者) 2022/07/10(Sun) 00:30:31 編集(投稿者)
問題 7 次の3変数関数の全微分方程式の一般解を求めよ。
e^ydx+xe^ydy+2zdz=0 …………(1)
解) P=e^y , Q=xe^y , R=2z と置くとf=[e^y ,xe^y ,2z]とすれば 回転rotfを求めると ∂R/∂y−∂Q/∂z=∂2z/∂y−∂xe^y/∂z=0−0=0 …………(2)
∂P/∂z−∂R/∂x=∂e^y/∂z−∂2z/∂x=0−0=0 …………(3)
∂Q/∂x−∂P/∂y=∂xe^y−∂e^y/∂y=0−0=0 …………(4)
(2),(3),(4)よりrotf=0となり、(1)は完全微分方程式である。 この一般解は ∫e^ydx[区間0,x]+∫0.e^ydy[区間0,y]+∫2zdz[区間0,z]=C
[e^y.x][区間0,x]+[z^2][区間0,z]=C 従ってxe^y+z^2=C [C:任意定数]
問題 8 次の全微分方程式を解きなさい。
ydx+xdy+(xy/z)dz=0 …………(a)[z≠0]
解) P=y , Q=x , R=xy/zと置き、f=[y,x,xy/z]とすれば 回転rotfを求めると ∂R/∂y−∂Q/∂z=∂(xy/z)/∂y−∂x/∂z=x/z−0=x/z …………(1)
∂P/∂z−∂R/∂x=∂y/∂z−∂(xy/z)/∂x=0−y/z=-y/z …………(2)
∂Q/∂x−∂P/∂y=∂x/∂x−∂y/∂y=1−1=0 …………(3)
(1),(2),(3)より(a)は完全微分方程式ではない。 rotf=[x/z , -y/z , 0](≠0)より ベクトルの内積は f・rotf=[y,x,xy/z]・[x/z,-y/z,0]=xy/z−xy/z+0=0 …………(4)
従って(4)より(a)は積分可能な全微分方程式である。
(@).dz=0とおくと(a)はydx+xdy=0 …………(b) となる。ここでP=y,Q=xと置くと∂P/∂y=1,∂Q/∂x=1より ∂P/∂y=∂Q/∂xが成立して(b)は完全微分方程式である。 (b)の一般解を求めると φ=∫ydx[区間0,x]+∫0.dy[区間0,y]=[xy][区間0,x]=xy=C …………(c)
(A)∂φ/∂x=∂xy/∂x=y=λP (P=yなのでλ=1)
(B)さらにη=λR−∂φ/∂z=1.xy/z−0=xy/zより(a)は dφ+ηdz=dφ+xy/z.dz=dφ+φ/z.dz=0 すなわち両辺にzをかけると、
zdφ+φdz=0 …………(d) ここでP"=z,Q"=φと置くと ∂P"/∂z=1 , ∂Q"/∂φ=1より∂P"/∂z=∂Q"/∂φが成立 するので(d)は完全微分方程式である。
従って u=∫zdφ[区間0,φ]+∫0.dz=[zφ][区間0,φ]=zxy=C
以上により積分可能な全微分方程式(a)の一般解はxyz=Cとなる。
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