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■23858 　Re[27]: （ 2重積分・フーリエ変換 ）
□投稿者/ rest -(2022/06/11(Sat) 12:26:39)
    2022/06/11(Sat) 12:36:46 編集(投稿者)

    問題 3・ a＞0として

    関数f(x)＝e^-a|x|のフーリエ変換を求めよ。


    F(ω)＝1/√(2π)∫f(x)e^-iωx・dx………＜区間±∞＞より

    F(ω)＝1/√(2π)∫e^ax・dx＜区間0と-∞＞＋1/√(2π)∫e^-ax・e^-iωx・dx＜区間0と+∞＞　　………(1)

    (1)式では|x|なので+xと-xにわけている。

    F(ω)＝1/√(2π)∫e^(a-iω)x・dx＜区間0と-∞＞＋1/√(2π)∫e^-(a+iω)x・dx＜区間0と＋∞＞

    ここで区間を変形してすなわち＜区間0とー∞＞を＜区間0と＋∞＞に変形すると

    F(ω)＝1/√(2π)∫e^-(a-iω)x・dx＜区間0と＋∞＞＋1/√(2π)∫e^-(a+iω)x・dx＜区間0と＋∞＞

    F(ω)＝1/√(2π)∫｛e^-(a-iω)x＋e^-(a+iω)x｝dx＜区間0と＋∞＞

    ＝-1/√(2π)[e^-(a-iω)x・/(a-iω)＋e^-(a+iω)x・(a+iω）]＜区間0と＋∞＞

    ＝1/√(2π[1/(a-iω)＋1/(a+iω)]　………(2)

    (2)を通分すると

    F(ω)＝1/√(2π)[(a+iω+a-iω)/(a-iω)(a+iω)

    ＝1/√(2π)[2a/(a^2＋ω^2)]

    ＝√(2/π)[a/(a^2＋ω^2)]

    となる。

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