| 問題 1 2変数関数f(X,Y)＝X^2 ＋Y^2を積分せよ。領域R(1≦X≦2, 0≦Y≦1 )
これは2重積分を解けばいい。
∫∫(X^2＋Y^2)dX dY
まず
∫(X^2＋Y^2)dX
を解く。その際Yは定数扱いする。
∫(X^2＋Y^2)dX＝[1/3X^3＋XY^2] ………＜上端2、下端1の定積分＞……(1)
(1)は計算すると
＝7/3＋Y^2
次にこれをYで積分すると
∫(7/3＋Y^2)dY
＝[7/3Y＋1/3Y^3] ………＜上端1、下端0の定積分＞ ……(2)
(2)の解は8/3
問題 2 次の関数のフーリエ変換を求めよ。
f(X)＝1 (|X|＜1 ) 、
f(X)＝0 (|X|＞1 )
フーリエ変換の式
F(ω)＝1/√(2π)∫f(X)e^-iωX・dX ………(1)
より
F(ω)＝1/√(2π)∫e^-iωX・dX ……＜上端+１， 下端-１の定積分＞
＝1/√(2π)・(-1/iω)[e^-iωX]
＝1/√(2π)・(-1/iω)[e^-iω−e^iω]
＝1/√(2π)・(e^iω−e^-iω)/iω ………(2)
(2)はオイラーの公式より
e^±ix＝cosx±isinx
変形して
e^ix−e^-ix＝(cosx＋isinx)−(cosx−isinx)=2isinx
sinx＝(e^ix−e^-ix)/2i ………(3)
(2)を変形して
F(ω）＝2/√(2π)・(e^iω−e^-iω)/2i・1/ω
これに(3)を代入すると
＝√(2/π)・sinω/ω
となる。
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