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■25388 / inTopicNo.1) 　X^2分布の期待値と分散
  ▼■
□投稿者/ rest -(2022/08/06(Sat) 11:31:16)
    2022/08/06(Sat) 20:54:07 編集(投稿者)

    問題12 自由度nのX^2分布のモーメント母関数がMc(θ)＝(1－2θ)^-n/2である
    ことを利用して、この期待値Ec[X]と分散Vc[X]を求めよ。


    解)　自由度nのX^2分布のモーメント母関数Mc(θ)はMc(θ)＝(1－2θ)^-n/2
    である。
    (ⅰ) Mc(θ)をθで微分する。
    1－2θ)＝Pと置くと合成微分より
    dP^-n/2/dP.dP/dθ＝n/2.P^-n/2-1.(-2)
    したがって
    Mc'(θ)＝n.(1－2θ)^-n/2-1 …………(1)

    (ⅱ) Mc'(θ)をさらにθで微分する。
    1－2θ＝Pと置くと合成微分より
    dP^-n/2-1./dP.dp/dθ＝n(-n/2-1).P^-n/2-2.(-2)
    したがって
    Mc"(θ)＝n(n+2)(1-2θ)^-n/2-2 …………(2)

    ここで定義よりM(θ)＝E[e^θX]
    e^θXをマクローリン展開すると

    e^θX＝1+θX/1!+(θX)^2./2!+(θX)^3./3!+………

    M(θ)＝E[e^θX]＝E[1]+θ/1!.E[X]+θ^2/2!.E[X^2]+θ^3/3!.E[X^3]+………

    M'(θ)＝E[X]+E[X^2].θ/1!+E[X^3].θ^2/2!+………

    θ＝0を代入すると
    M'(0)＝E[X] …………(3)

    次にM'(θ)をさらにθで微分して
    M"(θ)＝E[X^2].1/1!+E[X^3}.2θ/2!+E[X^4].3θ^2./3!+………
    ＝E[X^2]+E[X^3]θ/1!+E[X^4]θ^2/2+ ………

    θ＝0を代入すると
    M"(0)＝E[X^2] …………(4)

    確率変数Xの期待値と分散は(3)(4)より
    (ⅰ)期待値μ＝E[X}＝M'(0)
    (ⅱ)分散σ^2＝E[X^2]－E[X]^2＝M"(0)－M'(0)^2

    従って(1)(2)(3)(4)より
    期待値Ec[X]＝Mc'(0)＝n(1－0)^-n/2-1＝n

    分散Vc[X]＝M"c(0)－Mc'(0)^2＝n(n＋2)(1－0)^-n/2-2.－n^2＝2n
    となる。
引用返信/返信 削除キー/
■25239 / inTopicNo.2) 　X^2分布のモーメント母関数
□投稿者/ rest -(2022/07/30(Sat) 11:17:40)
    　問題11 自由度nのX^2分布のモーメント母関数Mc(θ)＝Ec[e^θx]を求めよ。

    自由度nのX^2分布の確率密度Cn(x)を用いて、このモーメント母関数は
    Mc(θ)＝Ec[e^θx]＝∫e^θx.Cn(x).dxとなる。
    自由度nのX^2分布の確率密度
    Cn(x)＝An.X^(n/2-1).e^(-x/2)
    [ここでAn＝1/2^(n/2).Γ(n/2)でありΓはガンマ関数]
    を用いてこのモーメント母関数Mc(θ)は

    Mc(θ)＝Ec[e^θx]＝∫e^θx.Cn(X).dx[区間0,∞]
    ＝An∫e^θx.x^(n/2-1).e^(-x/2).dx

    ＝An∫x^(n/2-1).e^-(1/2-θ).dx　…………(1)
    ここで(1/2-θ)x＝tとおくと、xは0→＋∞のとき、tは0→＋∞(θ＜1/2だから)

    (1/2－θ)dx＝dt …………(2)
    (2)より
    dx＝1/(1/2-θ).dt …………(3)

    (1),(3)より
    Mc(θ)＝An∫[t/(1/2-θ)]^(n/2-1).e^-t.[1/(1/2-θ).dt

    ＝1/2^n/2.Γ(n/2).1/(1/2-θ)^n/2.∫t^(n/2-1).e^-t.dt…………(4)

    ∫t^(n/2-1).e^-t.dt＝Γ(n/2)つまりガンマ関数なので(4)は
    ＝1/2^n/2Γ(n/2).1/(1/2-e)^n/2.Γ(n/2)
    となり

    ＝1/2^(n/2).1/(1/2-θ)^n/2
    ＝2^-n/2.(1/2-θ)^-n/2

    ＝[2.(1/2-θ)]^-n/2
    ＝(1－2θ)^-n/2　…………[X^2分布におけるモーメント母関数の公式]

    となる。

引用返信/返信 削除キー/
■25143 / inTopicNo.3) 　確率変数の変換と確率密度の変化
□投稿者/ rest -(2022/07/23(Sat) 11:57:01)
    2022/07/23(Sat) 11:59:32 編集(投稿者)

    　問題 10 ２つの連続な確率変数X,Yは次の確率密度f(x,y)に従う。

    f(x,y)＝[c(x＋y)/2.sin(x－y)/2……0≦(x＋y)/2≦1 , 0≦(x－y)/2≦πのとき]
    ………＝[0 ……それ以外の(x,y)のとき]
    ここでU＝(X＋Y)/2,V＝(X－Y)/2により、新たな確率変数U,Vを定義する。このとき
    U,Vの確率密度f(u,v)を求めよ。

    解) 確率密度の変換∫∫f(u,v)du.dv＝∫∫f(x,y)dx.dy
    ＝∫∫f＜x(u,v),y(u,v)＞|J|du.dvを用いる。

    u＝(x＋y)/2………(1)
    v＝(x－y)/2………(2)

    (1)＋(2)からx＝u＋v………(3)
    (1)－(2)からy＝u－v………(4)

    また、0≦(x＋y)/2≦1, 0≦(x－y)/2≦πをxy座標上の領域Aと置き、
    0≦u≦1 , 0≦v≦πをuv座標上の領域Bと置く。

    (3)(4)より、∂x/∂u＝１, ∂x/∂v=1, ∂y/∂u＝1, ∂y/∂v＝－1より
    ヤコビアンJ＝|∂x/∂u, ∂x/∂v|＝|1, 1|＝1×(-1)－1×1＝－2
    ………………|∂y/∂u, ∂y/∂v|…|1, -1|

    以上により新たな確率変数U,Vの確率密度f(x,y)を求める。
    ∫∫f(u,v)du.dv[領域B]＝∫∫f(x,y)dx.dy[領域A]
    ＝∫∫f＜x(u,v),y(u,v)＞|J|du.dv[領域B]
    ＝∫∫c.u.sinv.2.du.dv＝1(全確率)

    これよりf(u,v)＝2.c.u.sinv …………(5)

    次にcを求める。
    f(u,v)は密度関数の必要条件∫∫f(u,v)du.dv＝1をみたす。
    従って∫∫f(u,v)du.dv＝∫∫2.c.u.sinv.du.dv
    ＝2c∫u.du.∫sinv.dv＝2c[1/2u^2][区間0,1].[-cosv][区間0,π]

    ＝2c.1/2.1^2(1+1)＝2c＝１(全確率)
    これよりc＝1/2 …………(6)

    (6)を(5)に代入して
    f(u,v)＝u.sinv (0≦u≦1, 0≦v≦πのとき)
    ＝0 (それ以外の(u,v)のとき)

    となる。



引用返信/返信 削除キー/
■24888 / inTopicNo.4) 　変数変換
□投稿者/ rest -(2022/07/16(Sat) 19:10:12)
    2022/07/17(Sun) 20:57:42 編集(投稿者)

    問題 9
    ∫e^-x^2.dxを変数変換によって求めよ。[区間-∞、＋∞]

    解)　この積分値を求めるには次の重積分を考える。
    ∫∫e^-x^2-y^2.dx.dy [区間-∞、＋∞] …………(1)

    ここでx＝rcosθ、y＝rsinθとおくとrとθの積分区間はrが0→＋∞、θが0→2π
    となる。
    またヤコビアンJ＝|∂x/∂r,∂x/∂θ|＝|cosθ,-rsinθ|
    …………………… |∂y/∂r,∂y/∂θ|…|sinθ, rcosθ|

    ＝rcos^2θ＋rsin^2θ＝r(cos^2θ＋sin^2θ)＝r…………(2)

    以上より重積分は次のように変形できる。

    ∫∫e^-x^2-y^2.dx.dy[区間-∞、＋∞]＝∫∫e^-r^2|J|dr.dθ
    [前区間0,2π],[後区間0,+∞] …………(3)

    (上式で-x^2-y^2＝-(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)＝-r^2に注意。また|J|＝r)

    (3)の右辺より
    ＝∫(∫re^-r^2.dr)dθ＝1/2∫1dθ＝1/2[θ][ 区間0,2π]＝π

    (上式でなぜ1/2かというと-r^2＝Pと置くとdP/dr＝-2r,これよりdr＝-1/2r.dP
    すると∫re^-r^2.dr＝∫re^P.(-1/2r)dP＝∫-1/2e^P.dP＝-1/2[e^P]
    ＝-1/2[e^-r^2]

    これはlim[-1/2e^-r^2] [区間0,aそしてa→＋∞]＝lim[-1/2e^-a^2＋1/2]
    ＝lim[-1/2.1/e^a^2＋1/2]＝0＋1/2＝1/2となる)

    次に(3)の左辺より

    ∫∫e^-x^2-y^2.dx.dy＝∫e^-x^2.dx.∫e^-y^2.dy [区間-∞、＋∞]

    yをxに置き換えると
    ＝∫e^-x^2.dx.∫e^-x^2.dx＝[∫e-^x^2.dx]^2

    以上より[∫e^-x^2.dx]^2＝πだから
    ∫e^-x^2.dx＝√π

    となる。
引用返信/返信 削除キー/
■24619 / inTopicNo.5) 　３変数関数の全微分方程式
□投稿者/ rest -(2022/07/10(Sun) 00:28:39)
    2022/07/10(Sun) 08:52:49 編集(投稿者)
    2022/07/10(Sun) 00:30:31 編集(投稿者)

    問題 7 次の3変数関数の全微分方程式の一般解を求めよ。

    e^ydx＋xe^ydy＋2zdz＝0 …………(1)


    解)　P＝e^y , Q＝xe^y , R＝2z と置くとf＝[e^y ,xe^y ,2z]とすれば
    回転rotfを求めると
    ∂R/∂y－∂Q/∂z＝∂2z/∂y－∂xe^y/∂z＝0－0＝0　…………(2)

    ∂P/∂z－∂R/∂x＝∂e^y/∂z－∂2z/∂x＝0－0＝0　…………(3)

    ∂Q/∂x－∂P/∂y＝∂xe^y－∂e^y/∂y＝0－0＝0　　…………(4)

    (2),(3),(4)よりrotf＝0となり、(1)は完全微分方程式である。
    この一般解は
    ∫e^ydx[区間0,x]＋∫0.e^ydy[区間0,y]＋∫2zdz[区間0,z]＝C

    [e^y.x][区間0,x]＋[z^2][区間0,z]＝C
    従ってxe^y＋z^2＝C [C:任意定数]


    問題 8 次の全微分方程式を解きなさい。

    ydx＋xdy＋(xy/z)dz＝0 …………(a)[z≠0]


    解)　P＝y , Q＝x , R＝xy/zと置き、f＝[y,x,xy/z]とすれば
    回転rotfを求めると
    ∂R/∂y－∂Q/∂z＝∂(xy/z)/∂y－∂x/∂z＝x/z－0＝x/z …………(1)

    ∂P/∂z－∂R/∂x＝∂y/∂z－∂(xy/z)/∂x＝0－y/z＝-y/z …………(2)

    ∂Q/∂x－∂P/∂y＝∂x/∂x－∂y/∂y＝1－1＝0 …………(3)

    (1),(2),(3)より(a)は完全微分方程式ではない。
    rotf＝[x/z , -y/z , 0](≠0)より
    ベクトルの内積は
    f・rotf＝[y,x,xy/z]・[x/z,-y/z,0]＝xy/z－xy/z＋0＝0 …………(4)

    従って(4)より(a)は積分可能な全微分方程式である。

    (ⅰ).dz＝0とおくと(a)はydx＋xdy＝0 …………(b)
    となる。ここでP＝x,Q＝yと置くと∂P/∂y＝1,∂Q/∂x＝1より
    ∂P/∂y＝∂Q/∂xが成立して(b)は完全微分方程式である。
    (b)の一般解を求めると
    φ＝∫ydx[区間0,x]＋∫0.dy[区間0,y]＝[xy][区間0,x]＝xy＝C …………(c)

    (ⅱ)∂φ/∂x＝∂xy/∂x＝y＝λP (P＝yなのでλ＝1)

    (ⅲ)さらにη＝λR－∂φ/∂z＝1.xy/z－0＝xy/zより(a)は
    dφ＋ηdz＝dφ＋xy/z.dz＝dφ＋φ/z.dz＝0
    すなわち両辺にzをかけると、

    zdφ＋φdz＝0 …………(d)
    ここでP"＝z,Q"＝φと置くと
    ∂P"/∂z＝1 , ∂Q"/∂φ＝1より∂P"/∂z＝∂Q"/∂φが成立
    するので(d)は完全微分方程式である。

    従って
    u＝∫zdφ[区間0,φ]＋∫0.dz＝[zφ][区間0,φ]＝zxy＝C

    以上により積分可能な全微分方程式(a)の一般解はxyz＝Cとなる。
引用返信/返信 削除キー/
■24290 / inTopicNo.6) 　ラグランジュ偏微分方程式
□投稿者/ rest -(2022/07/02(Sat) 12:13:18)
    問題 6 次の偏微分方程式の一般解を求めよ。

    x(∂u/∂x)＋y(∂u/∂y)＝－u^2 ………(1) (x＞0,y＞0 )

    －y^2(∂u/∂x)＋xy(∂u/∂y)＝xy ………(2) (x＞0,y＞0 )


    解①　x(∂u/∂x)＋y(∂u/∂y)＝－u^2 ………(1)は
    P＝x,Q＝y,R＝－u^2　と置くとラグランジュの偏微分方程式であることがわかる。
    この特性方程式は

    dx/x＝dy/y＝du/-u^2 ………(3)

    (3)を二つにわけて解くと
    ⅰ) dx/x＝dy/yより∫(1/x)dx＝∫(1/y)dy (x＞0,y＞0 )

    logx＝logy＋C1
    ここでC1＝logC1と置くと

    log(x/y)＝logC1
    よってC1＝x/y ………(4)

    ⅱ) 次にdx/x＝-du/u^2より∫(1/x)dx＝-∫(1/u^2)du

    1/u＝logx＋C2 (C2＝logC2と置くと)
    1/u＝logC2x
    C2ｘ＝e^(1/u)

    C2＝e^(1/u)・/x ………(5)

    ここで任意定数C1,C2の間に関数関係
    C2＝φ(C1) ………(6)

    があるものとすると
    (4),(5),(6)より(1)の一般解は

    e^(1/u)・/x＝φ(x/y)

    e^(1/u)＝xφ(x/y) (φは任意関数)

    これを変形して
    1/u＝log[xφ(x/y)]

    u＝1/log[xφ(x/y)]
    となる。

    解②　－y^2(∂u/∂x)＋xy(∂u/∂y)＝xu ………(2)
    (2)においてP＝-y^2,Q＝xy,R＝xuと置くと
    この特性方程式は
    dx/-y^2＝dy/xy＝du/xu ………(7)

    (7)を二つにわけて解くと

    ⅰ) -dx/y^2＝dy/xyより-dx/y＝dy/xへ変形し
    さらにxdx＝-ydyと変形し積分すると∫xdx＝-∫ydy

    (1/2)x^2＝-(1/2)y^2＋C1
    x^2＝-y^2＋C1
    x^2＋y^2＝C1 ………(8)

    ⅱ) 次にdy/xy＝du/xuより変形してdy/y＝du/u
    積分すると∫(1/y)dy＝∫(1/u)du
    従ってlog|u|＝logy＋C2 (C2＝logC2と置くと）

    log|u|＝logC2y

    |u|＝C2y
    u＝±C2y＝C"2y ………(9)

    C1,C"2の間に関数関係C"2＝φ(C1) ………(10)
    があるとすれば
    (8),(9),(10)より一般解は

    u＝yφ(x^2＋y^2)
    となる。ただしφは任意関数。


引用返信/返信 削除キー/
■24159 / inTopicNo.7) 　全微分方程式
□投稿者/ rest -(2022/06/25(Sat) 11:25:06)
    2022/06/25(Sat) 11:48:02 編集(投稿者)

    問題 5 次の全微分方程式の一般解を求めよ。

    (2x＋2y)dx＋(2x＋e^y)dy＝0 …………(a)


    P＝2x＋2y , Q＝2x＋e^yと置くと、
    ∂P/∂y＝2 , ∂Q/∂x＝2

    ∂P/∂y＝∂Q/∂x＝2なので(a)は完全微分方程式である。
    この一般解はシュワルツの定理より

    ∫P(X,Y)dx[区間Xo,X}＋∫Q(Xo,Y)dy[区間Yo,Y]＝C(定数)
    …………(1)
    (定義域に条件がなければ、Xo＝Yo＝0と置けばよい。X＞0,Y＞0などの条件があれば
    Xo＝Yo＝1と置くとよい)

    ここでは(1)に代入すると

    ∫(2x＋2y)dx[区間0,x]＋∫(2x0＋e^y)dy[区間0,y]＝C(定数)

    なので
    [x^2＋2yx][区間0,x]＋[e^y][区間0,y]＝C

    x^2＋2xy＋e^y－1＝C
    したがって(a)の一般解は

    x^2＋2xy＋e^y＝C"
    となる。

    問題 6 次の全微分方程式を解きなさい。

    dx＋2xydy＝0 …………(b) (x＞0)

    P＝1 , Q＝2xyと置くと
    ∂P/∂y＝0 , ∂Q/∂x＝2yとなり、∂P/∂y≠∂Q/∂xなので
    (b)は完全微分方程式ではない。
    しかし
    (∂P/∂y－∂Q/∂x)/Q＝(0－2y)/2xy＝－1/x＝g(x)
    となるのでこの積分因子は

    μ(x)＝e^∫g(x)dx＝e^-∫(1/x)dx＝e^-logx＝e^log(1/x)
    ここで公式e^loga＝aより

    μ(x)＝1/x …………(1)
    (1)を(b)の両辺にかけて

    1/xdx＋2ydy＝0 …………(2)
    ここでP’＝1/x , Q'＝2yと置くと

    ∂P'/∂y＝0 , ∂Q'/∂x＝0となって(2)は完全微分方程式となる。
    したがってシュワルツの定理より一般解は

    ∫(1/x)dx[区間1,x]＋∫2ydy[区間0,y]＝C

    [logx][区間1,x]＋[y^2][区間0,y]＝C
    logx＋y^2＝C
    となる。
引用返信/返信 削除キー/
■24006 / inTopicNo.8) 　Re[28]: （ 偏微分方程式）
□投稿者/ rest -(2022/06/19(Sun) 10:57:35)
    2022/06/19(Sun) 22:26:38 編集(投稿者)
    ■No23858に返信(restさんの記事)
    > 2022/06/11(Sat) 12:36:46 編集(投稿者)
    >
    > 問題 3・ a＞0として
    >
    > 関数f(x)＝e^-a|x|のフーリエ変換を求めよ。
    >
    >
    > F(ω)＝1/√(2π)∫f(x)e^-iωx・dx………＜区間±∞＞より
    >
    > F(ω)＝1/√(2π)∫e^ax・dx＜区間0と-∞＞＋1/√(2π)∫e^-ax・e^-iωx・dx＜区間0と+∞＞　　………(1)
    >
    > (1)式では|x|なので+xと-xにわけている。
    >
    > F(ω)＝1/√(2π)∫e^(a-iω)x・dx＜区間0と-∞＞＋1/√(2π)∫e^-(a+iω)x・dx＜区間0と＋∞＞
    >
    > ここで区間を変形してすなわち＜区間0とー∞＞を＜区間0と＋∞＞に変形すると
    >
    > F(ω)＝1/√(2π)∫e^-(a-iω)x・dx＜区間0と＋∞＞＋1/√(2π)∫e^-(a+iω)x・dx＜区間0と＋∞＞
    >
    > F(ω)＝1/√(2π)∫｛e^-(a-iω)x＋e^-(a+iω)x｝dx＜区間0と＋∞＞
    >
    > ＝-1/√(2π)[e^-(a-iω)x・/(a-iω)＋e^-(a+iω)x・(a+iω）]＜区間0と＋∞＞
    >
    > ＝1/√(2π[1/(a-iω)＋1/(a+iω)]　………(2)
    >
    > (2)を通分すると
    >
    > F(ω)＝1/√(2π)[(a+iω+a-iω)/(a-iω)(a+iω)
    >
    > ＝1/√(2π)[2a/(a^2＋ω^2)]
    >
    > ＝√(2/π)[a/(a^2＋ω^2)]
    >
    > となる。
    >
    >

    問題４・２変数関数u＝u(x,y)について、次の偏微分方程式の一般解を求めよう。

    (1)∂u/∂y＝cos(xy)

    (2)∂^2u/∂x∂y＝0

    解(1) 両辺を積分すると
    ∫∂u/∂y・dy＝∫cosxy・dy ………(1)

    ここでxを定数扱いしてu(x,y)＝1/xsinxy＋f(x)となる。
    内訳として説明すると

    xy＝mと置くとdm/dy＝xなのでdm/x＝dyつまり1/x・dm＝dy………(2)
    (2)を(1)へ代入すると

    ∫cosxy・dy＝∫cosm・1/x・dm＝1/x∫cosm・dm＝1/x・sinm＋f(x)
    ＝1/x・sinxy＋f(x)

    となる。なおf(x)は任意関数である。

    解(2)　∂^2u/∂x∂y＝0は∂/∂x・(∂u/∂y)＝0なので
    両辺をxで積分して

    ∫∂/∂x(∂u/∂y)・dx＝∫0・dx

    したがって∂u/∂y＝1・h(y)………h(y)は任意関数
    さらにyで積分して

    u(x,y)＝∫h(y)・dy＋f(x)
    ここで∫h(y)・dyをg(y)と置くと

    解はu(x,y)＝g(y)＋f(x)………g(y),f(x)は任意関数
引用返信/返信 削除キー/
■23858 / inTopicNo.9) 　Re[27]: （ 2重積分・フーリエ変換 ）
□投稿者/ rest -(2022/06/11(Sat) 12:26:39)
    2022/06/11(Sat) 12:36:46 編集(投稿者)

    問題 3・ a＞0として

    関数f(x)＝e^-a|x|のフーリエ変換を求めよ。


    F(ω)＝1/√(2π)∫f(x)e^-iωx・dx………＜区間±∞＞より

    F(ω)＝1/√(2π)∫e^ax・dx＜区間0と-∞＞＋1/√(2π)∫e^-ax・e^-iωx・dx＜区間0と+∞＞　　………(1)

    (1)式では|x|なので+xと-xにわけている。

    F(ω)＝1/√(2π)∫e^(a-iω)x・dx＜区間0と-∞＞＋1/√(2π)∫e^-(a+iω)x・dx＜区間0と＋∞＞

    ここで区間を変形してすなわち＜区間0とー∞＞を＜区間0と＋∞＞に変形すると

    F(ω)＝1/√(2π)∫e^-(a-iω)x・dx＜区間0と＋∞＞＋1/√(2π)∫e^-(a+iω)x・dx＜区間0と＋∞＞

    F(ω)＝1/√(2π)∫｛e^-(a-iω)x＋e^-(a+iω)x｝dx＜区間0と＋∞＞

    ＝-1/√(2π)[e^-(a-iω)x・/(a-iω)＋e^-(a+iω)x・(a+iω）]＜区間0と＋∞＞

    ＝1/√(2π[1/(a-iω)＋1/(a+iω)]　………(2)

    (2)を通分すると

    F(ω)＝1/√(2π)[(a+iω+a-iω)/(a-iω)(a+iω)

    ＝1/√(2π)[2a/(a^2＋ω^2)]

    ＝√(2/π)[a/(a^2＋ω^2)]

    となる。


引用返信/返信 削除キー/
■23715 / inTopicNo.10) 　Re[26]: （ 2重積分・フーリエ変換 ）
□投稿者/ rest -(2022/06/04(Sat) 10:36:30)
    ■No23541に返信(restさんの記事)
    > 問題 1 2変数関数f(X,Y)＝X^2 ＋Y^2を積分せよ。領域R(1≦X≦2, 0≦Y≦1　)
    >
    > これは2重積分を解けばいい。
    > ∫∫(X^2＋Y^2)dX dY
    >
    > まず
    > ∫(X^2＋Y^2)dX
    >
    > を解く。その際Yは定数扱いする。
    > ∫(X^2＋Y^2)dX＝[1/3X^3＋XY^2] ………＜上端2、下端1の定積分＞……(1)
    >
    > (1)は計算すると
    > ＝7/3＋Y^2
    >
    > 次にこれをYで積分すると
    > ∫(7/3＋Y^2)dY
    > ＝[7/3Y＋1/3Y^3] ………＜上端1、下端0の定積分＞　……(2)
    >
    > (2)の解は8/3
    >
    >
    > 問題 2 次の関数のフーリエ変換を求めよ。
    >
    > f(X)＝1 (|X|＜1 ) 、　
    > f(X)＝0 (|X|＞1 )
    >
    > フーリエ変換の式
    > F(ω)＝1/√(2π)∫f(X)e^-iωX・dX ………(1)
    >
    > より
    > F(ω)＝1/√(2π)∫e^-iωX・dX ……＜上端+１，　下端-１の定積分＞
    >
    > ＝1/√(2π)・(-1/iω)[e^-iωX]
    >
    > ＝1/√(2π)・(-1/iω)[e^-iω－e^iω]
    >
    > ＝1/√(2π)・(e^iω－e^-iω)/iω　………(2)
    >
    > (2)はオイラーの公式より
    > e^±ix＝cosx±isinx
    > 変形して
    > e^ix－e^-ix＝(cosx＋isinx)－(cosx－isinx)=2isinx
    >
    > sinx＝(e^ix－e^-ix)/2i ………(3)
    >
    > (2)を変形して
    > F(ω）＝2/√(2π)・(e^iω－e^-iω)/2i・1/ω
    >
    > これに(3)を代入すると
    >
    > ＝√(2/π)・sinω/ω
    >
    > となる。
    >
    >
    上記の場合、ω≠0なので、ω＝0では

    F(0)＝1/√(2π)∫e^-iωx・dx＝1/√(2π)∫ｄｘ

    ＝1/√(2π)[x] ………＜上端+1,下端-1＞

    ＝√(2/π)
    したがってω＝0で連続である。
引用返信/返信 削除キー/
■23541 / inTopicNo.11) 　積分余話 3 （ 2重積分・フーリエ変換 ）
□投稿者/ rest -(2022/05/28(Sat) 11:51:41)
    問題 1 2変数関数f(X,Y)＝X^2 ＋Y^2を積分せよ。領域R(1≦X≦2, 0≦Y≦1　)

    これは2重積分を解けばいい。
    ∫∫(X^2＋Y^2)dX dY

    まず
    ∫(X^2＋Y^2)dX

    を解く。その際Yは定数扱いする。
    ∫(X^2＋Y^2)dX＝[1/3X^3＋XY^2] ………＜上端2、下端1の定積分＞……(1)

    (1)は計算すると
    ＝7/3＋Y^2

    次にこれをYで積分すると
    ∫(7/3＋Y^2)dY
    ＝[7/3Y＋1/3Y^3] ………＜上端1、下端0の定積分＞　……(2)

    (2)の解は8/3


    問題 2 次の関数のフーリエ変換を求めよ。

    f(X)＝1 (|X|＜1 ) 、　
    f(X)＝0 (|X|＞1 )

    フーリエ変換の式
    F(ω)＝1/√(2π)∫f(X)e^-iωX・dX ………(1)

    より
    F(ω)＝1/√(2π)∫e^-iωX・dX ……＜上端+１，　下端-１の定積分＞

    ＝1/√(2π)・(-1/iω)[e^-iωX]

    ＝1/√(2π)・(-1/iω)[e^-iω－e^iω]

    ＝1/√(2π)・(e^iω－e^-iω)/iω　………(2)

    (2)はオイラーの公式より
    e^±ix＝cosx±isinx
    変形して
    e^ix－e^-ix＝(cosx＋isinx)－(cosx－isinx)=2isinx

    sinx＝(e^ix－e^-ix)/2i ………(3)

    (2)を変形して
    F(ω）＝2/√(2π)・(e^iω－e^-iω)/2i・1/ω

    これに(3)を代入すると

    ＝√(2/π)・sinω/ω

    となる。


引用返信/返信 削除キー/
■23378 / inTopicNo.12) 　余剰（消費者余剰と生産者余剰）
□投稿者/ rest -(2022/05/21(Sat) 11:45:04)
    経済学に戻ろうと思う。
    無差別曲線でX財とY財がある。Y財を貨幣と置くと、
    限界代替率＝価格比より、
    ⊿Y/⊿X＝-Px/Py

    加重限界効用均等の法則より
    ∂U/∂X・/・∂U/∂Y＝-Px/Py

    貨幣の限界効用を一定（1/k)とし、貨幣の価格を1と置くと
    k・∂U/∂X＝Px

    k＝1と置けば
    ∂U/∂X＝Px ………(1)

    (1)より、X財の限界効用は価格と等しくなり、限界効用逓減の法則より
    右下がりの需要曲線となる。

    　一般均衡分析でいえば、X財が中立財（所得効果はゼロで代替効果のみ）のとき、
    補償変分と等価変分が等しくなり、これを消費者余剰という。これは実際に支払った貨幣と、以前と同じ効用水準を保つのに必要な貨幣額（支払ってもよい額）との
    差額を示している。
    　部分均衡分析でいえば、f(x)を需要曲線とすれば、
    消費者余剰は
    ∫f(x)dx－∫Po・dx ＜上端は消費量ｇ、下端0の定積分、Poは価格＞　………(2)

    　生産者余剰について、最大利潤の条件MC＝Pより限界費用曲線MCは供給曲線を意味する。限界生産費φ(x)、総生産費をQ(x)とすれば
    Q(x)＝∫φ(x)dx＋K ＜Kは固定費＞

    供給量Xoのとき、価格Poとすれば
    純利益は
    ∫Po・dx－∫φ(x)dx－K ＜上端Xo、下端0の定積分＞………(3)

    これを生産者余剰という。

    　消費者余剰は消費者の利益、生産者余剰は生産者の利益を意味する。実際の商取引は消費者と生産者の双方の利益が生じていることを示している。

    　持論を展開すると、等価交換を評価の価値基準におけば、Aという商品にaという消費者が買ってもよい価格がPa、実際に支払った価格をPoとする。
    ｂという生産者が売ってもよい価格がPb,実際に売った価格がPoとする。
    　Aという商品に与えられた価値の合計はPa＋Pbであり、支払った貨幣の価値の合計はPo＋Poとなる。（双方ともPoの評価をしているので2倍になる）
    　等価交換であれば価値はPa＋Pb＝Po＋Poとなり、aの利益はPa－Poとなり、bの利益はPo－Pbとなり、双方の利益が等しいことを示している。
    　消費者余剰と生産者余剰が等しい場合を想定している。もし評価が客観的に誰からも見えるなら、必ず等価交換になるように取引されるだろうことは想像にかたくない。
引用返信/返信 削除キー/
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