| 過去ログより
□投稿者/ rest -(2022/07/10(Sun) 00:28:39)
2022/07/10(Sun) 08:52:49 編集(投稿者)
2022/07/10(Sun) 00:30:31 編集(投稿者)
問題 7 次の3変数関数の全微分方程式の一般解を求めよ。
e^ydx＋xe^ydy＋2zdz＝0 …………(1)
解) P＝e^y , Q＝xe^y , R＝2z と置くとf＝[e^y ,xe^y ,2z]とすれば
回転rotfを求めると
∂R/∂y－∂Q/∂z＝∂2z/∂y－∂xe^y/∂z＝0－0＝0 …………(2)
∂P/∂z－∂R/∂x＝∂e^y/∂z－∂2z/∂x＝0－0＝0 …………(3)
∂Q/∂x－∂P/∂y＝∂xe^y－∂e^y/∂y＝0－0＝0 …………(4)
(2),(3),(4)よりrotf＝0となり、(1)は完全微分方程式である。
この一般解は
∫e^ydx[区間0,x]＋∫0.e^ydy[区間0,y]＋∫2zdz[区間0,z]＝C
[e^y.x][区間0,x]＋[z^2][区間0,z]＝C
従ってxe^y＋z^2＝C [C:任意定数]
問題 8 次の全微分方程式を解きなさい。
ydx＋xdy＋(xy/z)dz＝0 …………(a)[z≠0]
解) P＝y , Q＝x , R＝xy/zと置き、f＝[y,x,xy/z]とすれば
回転rotfを求めると
∂R/∂y－∂Q/∂z＝∂(xy/z)/∂y－∂x/∂z＝x/z－0＝x/z …………(1)
∂P/∂z－∂R/∂x＝∂y/∂z－∂(xy/z)/∂x＝0－y/z＝-y/z …………(2)
∂Q/∂x－∂P/∂y＝∂x/∂x－∂y/∂y＝1－1＝0 …………(3)
(1),(2),(3)より(a)は完全微分方程式ではない。
rotf＝[x/z , -y/z , 0](≠0)より
ベクトルの内積は
f・rotf＝[y,x,xy/z]・[x/z,-y/z,0]＝xy/z－xy/z＋0＝0 …………(4)
従って(4)より(a)は積分可能な全微分方程式である。
(ⅰ).dz＝0とおくと(a)はydx＋xdy＝0 …………(b)
となる。ここでP＝y,Q＝xと置くと∂P/∂y＝1,∂Q/∂x＝1より
∂P/∂y＝∂Q/∂xが成立して(b)は完全微分方程式である。
(b)の一般解を求めると
φ＝∫ydx[区間0,x]＋∫0.dy[区間0,y]＝[xy][区間0,x]＝xy＝C …………(c)
(ⅱ)∂φ/∂x＝∂xy/∂x＝y＝λP (P＝yなのでλ＝1)
(ⅲ)さらにη＝λR－∂φ/∂z＝1.xy/z－0＝xy/zより(a)は
dφ＋ηdz＝dφ＋xy/z.dz＝dφ＋φ/z.dz＝0
すなわち両辺にzをかけると、
zdφ＋φdz＝0 …………(d)
ここでP"＝z,Q"＝φと置くと
∂P"/∂z＝1 , ∂Q"/∂φ＝1より∂P"/∂z＝∂Q"/∂φが成立
するので(d)は完全微分方程式である。
従って
u＝∫zdφ[区間0,φ]＋∫0.dz＝[zφ][区間0,φ]＝zxy＝C
以上により積分可能な全微分方程式(a)の一般解はxyz＝Cとなる。
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