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虚数時間に挑戦！？
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□投稿者/ 田秋 -(2023/07/11(Tue) 07:46:53)
| おはようございます、floraさん
宇宙の話を読んでいると虚数時間というものが出てきます。特に宇宙の始まりとか、相対性理論の辺り。いつも経験している時間も本当の処はよくわかりませんが、虚数時間となると感覚的には全くわかりません
そこで
ウィキペディア 虚時間
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%99%82%E9%96%93
これを参考に虚数時間の理解に挑戦！
最初の式は
s^2=(ct)^2-(x^2+y^2+z^2)
です。
s^2は「ローレンツ変換の不変量である4次元距離、
(ct)^2は時間を表す項、（x^2+y^2+z^2）は空間を示す項です。
cは光速、tは時間、x,ｙ,ｚは3次元空間座標です。
「対称ではない」の「対称」の意味はx+y=y+x、xy=yxのように項を入れ換えても成り立つことです。最初の式は引き算になっているので対称式ではありません。
後を読むとわかりますが、ここでは最初の式を対称式にしようとしているのです。何故対称式にしたいのかというと書いてある通り、「数学的取り扱いが容易になる」からです（その辺りのカラクリは理解できていません）。
そこでここではtをit(iは虚数を表します）とし、それをrと置きます(r=it)。
(cr)^2の値はマイナスになるので（虚数を二乗すると負の値を取ります）その前に-をつけ-(cr)^2とすれば全体でプラスになり最初の式の(ct)^2と同値になります。
書き直すと
s^2=-(cr)^2-(x^2+y^2+z^2)
となり、右辺をマイナスで括ると
s^2=-{(cr)^2+x^2+y^2+z^2}
となり、ウィキペディアの二つ目の式になります。
この右辺の-{〜}の〜の部分に注目すると全ての項が＋になっています。ここをウィキペディは「対称性が成立する」と言っている訳です。そしてその利便性の例として「ミンコフスキー時空は4次元ユークリッド空間となり、ローレンツ変換は回転となる」を挙げています（と理解しました）。
このように見ていくと少なくとも最初は計算の利便性のために虚数を導入したのであって、どうしても虚数時間としか理解できないような観測結果があったのではないと思います。
しかしその後、ホーキングは宇宙生成の最初期は虚数時間であったと主張しています。
あともう一つ対称式の性質から言える大事なことは、「時間と空間の境目はない」ということです。
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